seo策略:音乐与数学

  从关于物质的理论所导出的结果,应该可以通过观察对比进行检验。即使泰勒斯及其后继者在当时已经明白这一点,他们也会发现这是一项异常艰巨的任务,部分原因在于希腊数学的局限性。巴比伦人在算术方面能力卓越,他们采用六十进制,而非十进制。他们还发展了一些简单的代数技巧,如求解各种二次方程的计算法则(虽然未以符号表达)。但对早期希腊人而言,数学主要是几何学。正如前文所述,柏拉图时代的数学家已经发现了关于三角形和多面体的定理。欧几里得在《几何原本》中所提及的大部分几何知识,早在其所处时代(公元前300年左右)之前就已广为人知。但即便在那时,希腊人在算术方面也知之甚少,遑论代数、三角或微积分。
 
  最早用算术方法研究的现象可能是音乐,进行这项工作的是毕达哥拉斯的追随者们。毕达哥拉斯是土生土长的爱奥尼亚萨摩斯岛人,公元前530年左右移居意大利南部。在那里的希腊城邦克罗托内,他创立了一个教派,该教派一直延续到公元前300年。
 
  “教派”这个词看来是合适的。早期毕达哥拉斯学派并无著作存世,但从他人的著作1可知,毕达哥拉斯学派相信灵魂转世说。据传他们身着白袍,禁食豆类,因为豆类形似人类胚胎。该学派组建了某种神权政体,公元前510年,在其统治下的克罗托内人将邻邦锡巴里斯夷为平地。
 
  毕达哥拉斯学派在科学史上留下的一笔,是他们对数学的狂热。亚里士多德在《形而上学》2中谈道:“自称为毕达哥拉斯学派的成员,以献身数学为己任;他们率先推进这一学科,由于长期浸淫于数学环境,他们认为数是万物本原。”
 
  毕达哥拉斯学派对数学的强调,或许源于对音乐的观察。他们注意到,演奏弦乐器时,同时拨动粗细均等、材质相同、松紧一致的两根弦,若其弦长比例恰为两个小整数之比,则乐声和谐动听。最简单的情况为一弦的长度恰为另一弦的一半。按照现代的说法,我们将两弦的音程称为一个八度,并把它们产生的音用同一字母表示。若两弦长度之比为2∶3,产生的音程会形成一个“五度”,这是一种特别悦耳的和声。若两弦长度之比为3∶4,产生的动听和声称为“四度”。相反,若两弦长度并非两个小整数之比(例如两弦长度之比为100 000∶314 159),或完全不成整数比,产生的音就不会那么好听。如今我们知道,这一现象的影响因素有两个:一是两根弦同时发出的声音的周期性,二是每根弦发出的泛音的匹配度(见技术札记3)。毕达哥拉斯学派并不理解这些原理,在17世纪法国牧师马林·梅森(Marin Mersenne)发表其著作之前,世人对此也一无所知。但根据亚里士多德的描述,毕达哥拉斯学派认为“整个天堂是一个音阶”3。这一思想对后世影响深远。例如,西塞罗在《论共和国》(On the Republic)中讲述了一个故事,其中罗马大将大西庇阿(Scipio Africanus)的鬼魂向他的孙子介绍了天体乐音。
 
  毕达哥拉斯学派最富成果的研究领域并非物理学,而是纯数学。人人都听说过勾股定理(毕达哥拉斯定理),即以直角三角形斜边为边的正方形的面积,等于分别以该三角形的两直角边为边的两个正方形面积之和。无人知晓是哪一位毕达哥拉斯学派的成员证明了这条定理,也没有人知道他的证明方法。与柏拉图同时代的毕达哥拉斯学派成员,塔林敦的阿契塔(Archytas of Tarentum)提出了一个比例理论,据之可以给出一个对勾股定理的简单证明。[见技术札记4。欧几里得《几何原本》(第1卷)命题46的证明较为复杂。]阿契塔也解决了一个著名问题,即给定一个立方体,在其基础上构建另一个体积恰为其两倍的立方体,虽然他使用的不是纯几何方法。
 
  勾股定理的问世,直接导致了另一重大发现:几何结构的长度可以是无法表示为整数之比的数值。若一直角三角形的两条直角边长度均为1(计量单位省略),那么以这两条边为边的两正方形的总面积为12+12=2。根据勾股定理,该三角形斜边长度是平方为2的数。而平方为2的数无法表示为整数之比,证明这一点并非难事(见技术札记5)。欧几里得在《几何原本》(第10卷)中给出了证明方法,而此前亚里士多德在其著作《前分析篇》(Prior Analytics)4中也将其作为反证法的例子提及,但并未注明出处。传说中毕达哥拉斯学派成员希帕索斯(Hippasus,可能来自南意大利的米太旁登)最早发现了这一现象,而他却因为泄露这一秘密遭到毕达哥拉斯学派的残酷迫害,一说为被流放,一说为被杀害。
 
  今天我们可能会将此事件描述为人们发现了以2的平方根为例的无理数——这些数无法表示为整数之比。据柏拉图记载5,昔兰尼的西奥多罗斯(Theodorus of Cyrene)认为3,5,6,…15,17等数(即除了1,4,9,16等本身是整数平方的数以外的所有整数,尽管柏拉图并未如此表述)的平方根同样皆为无理数。但早期希腊人不会这样表述。柏拉图关于其表述的译文是:面积为2,3,5等平方英尺的正方形的边与一英尺“不成比例”。早期希腊人对有理数以外的其他数一无所知,对他们而言,2的平方根只能用几何意义给出,这种局限也进一步阻碍了算术的发展。
 
  对纯数学的关注,在柏拉图学院得到继承。据说学院入口处有一标识:“不懂几何者禁入”。柏拉图本人并非数学家,但对数学满腔热忱,部分原因或许是,他曾前往西西里岛的锡拉库萨指导狄奥尼修斯二世,途中会见过毕达哥拉斯学派的阿契塔。
 
  雅典的泰阿泰德(Theaetetus of Athens)是柏拉图学院中的一位数学家,柏拉图深受其影响,将其作为一篇对话录的标题人物及另一篇的讨论对象。人们认为5种正多面体是由泰阿泰德发现的,而正如我们所看到的,这些正多面体为柏拉图的元素理论提供了依据。欧几里得在《几何原本》中证明了这些是仅有的凸正多面体[1],而这个证明可能源自泰阿泰德;此外,泰阿泰德还对当今被称为无理数的理论做出了贡献。
 
  公元前4世纪最伟大的希腊数学家可能要数尼多斯的欧多克斯(Eudoxus of Cnidus),他是阿契塔的学生,与柏拉图是同时代人。欧多克斯一生主要居住在小亚细亚海岸的尼多斯,但他曾求学于柏拉图学院,之后返校执教。欧多克斯并无著作存世,但他被认为解决了大量困难的数学问题,例如说明了圆锥的体积是同底同高圆柱体体积的1/3。(他如何在没有微积分的条件下得出该结论,我毫无头绪。)但他对数学最大的贡献是引入了严谨的风格,即定理应从明确陈述的公理推导得出。这也正是我们在欧几里得的著作中所看到的风格。事实上,人们将欧几里得《几何原本》中的很多细节都归功于欧多克斯。
 
  欧多克斯和毕达哥拉斯学派对数学的发展本身是一项伟大的智力成果,但对自然科学而言却是祸福参半。首先,欧几里得的《几何原本》中所采用的数学写作推理风格,不断地被自然科学家以不甚恰当的方式模仿。正如我们将要看到的,亚里士多德关于自然科学的文字鲜少涉及数学,但有时听起来就像对数学推理的拙劣模仿,例如他在《物理学》(Physics)中对运动的讨论:“A在时间C内通过B,并在时间E内通过较稀薄的D(假设B与D长度相等),通过的时间与阻碍物的密度成正比。不妨假设B是水,D是空气。”6希腊物理学最重要的著作大概是阿基米德的《论浮体》(On Floating Body),我们将在第四章详细讨论。这本书看似用数学文体写成,先摆出无可争议的假设,再由之推理出特定命题。阿基米德很聪明地选择了正确的假设,但他的科学研究实在是集演绎、归纳与猜测于一体的大杂烩。
 
  与风格问题相关但更为重要的一点是,数学促生了一个错误目标:人们企图凭借个人智慧得出一定的真理。柏拉图在《理想国》中讨论了哲学家之王的教育问题,他笔下的苏格拉底主张用研究几何学的方法研究天文学。苏格拉底认为,仰望天空或许有助于激发天文智慧,正如端详几何图形有助于启发数学思想一样,但不论在何种情况下,真正的知识都只能源于思考。苏格拉底在《理想国》中解释道:“我们应该仅将天体作为例证,帮助我们研究其他领域,就像我们面对特殊的几何图形那样。”7
 
  数学是一种手段,我们利用它来推导出符合物理原理的结果。更重要的是,它是表达物理科学原理的必不可少的语言。数学常常激发关于自然科学的新思想,科学的需求很多时候也相应地推动数学的发展。爱德华·威滕(Edward Witten)是一位理论物理学家,他所做的研究极大地丰富了人们对数学的认知,他本人也于1990年被授予数学界的最高荣誉——菲尔兹奖。但数学并非自然科学。如果没有观察,数学本身并不能揭示世界上任何事物,数学定理也不会因为人们对世界所做的观察而被证实或推翻。
 
  然而古人并不了解这一点,近代早期的人们对此也是一知半解。在前文中我们已经看到,柏拉图和毕达哥拉斯学派认为数学对象如数字或三角形是自然界的基本成分;接下来我们还将看到,一些哲学家将数学天文学视作数学的一个分支,而非自然科学的一部分。
 
  数学与科学之间的区别已充分澄清。但让我们百思不得其解的是,虽然数学的发明与自然现象无关,但它却常常在物理理论中发挥作用。在一篇著名的文章中8,物理学家尤金·维格纳(Eugene Wigner)提出“数学的过分有效性”,但我们通常不难把数学思想与科学原理区分开来——后者需要通过观察世界得到最终证实。
 
  数学家与科学家间或发生的冲突,一般与数学严谨性相关。自19世纪早期以来,纯数学家们视严谨为必需:定义和假设必须精确,推理过程必须绝对肯定。物理学家则比较灵活,只要求一定程度的精准性以避免产生严重错误。在关于量子场论的论文的序言中,我坦言“该论文的部分内容会令数学爱好者垂泪”。
 
  沟通的问题由此产生。数学家告诉我,他们经常发现物理学文献含糊其辞,令人恼火。像我这样需要运用先进数学工具的物理学家时常看到的现象,则是数学家为追求严谨而将其作品复杂化,写出在物理学家看来了然无趣的文字。
 
  一些爱好数学的物理学家不遗余力,将现代基本粒子物理学体系——量子场论——建立在严谨的数学基础之上,并取得了一些有趣的进展。但回望过去半个世纪以来基本粒子标准模型所取得的发展,没有一件得益于数学严谨性的提高。
 
  欧几里得之后,希腊数学研究的盛况不衰。在第四章中,我们将提到之后的希腊化时期(Hellenistic)的两位成就卓著的数学家:阿基米德和阿波罗尼奥斯。
 
  [1]事实上(如技术札记2中所述),不论泰阿泰德所证明的内容为何,《几何原本》并未如它所声称的那样,证明了恰有5种可能的凸正多面体这一命题。《几何原本》确实证明了对于正多面体,其各面边数与相汇于各个顶点的面数的组合只有5种。但这并不能证明对于每一种边数和面数的组合,恰好只有一种可能的凸正多面体。

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